当整数n≥0时.证明多项式xn+2+(x+1)2n+1能被x2+x+1整除．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

当整数n≥0时，证明多项式xⁿ⁺²+(x+1)²ⁿ⁺¹能被x²+x+1整除．

答案：
解析：

证明：(1)当n=0时，xⁿ⁺²+(x+1)²ⁿ⁺¹=x²+x+1能被x²+x+1整除．

　　(2)假设n=k(k≥0，k∈Z)时命题成立，就是x^k⁺²+(x+1)^2k⁺¹能被多项式x²+x+1整除，那么n=k+1时

　　x^(k⁺¹⁾⁺²+(x+1)^2(k⁺¹⁾⁺¹

　　=x·x^k⁺²+(x+1)²·(x+1)^2k⁺¹-x^k⁺²·(x+1)²+x^k⁺²(x+1)²

　　=(x+1)²[x^k⁺²+(x+1)^2k⁺¹]-x^k⁺²(x²+x+1)

　　∵　x^k⁺²+(x+1)^2k⁺¹，x²+x+1都能被x²+x+1整除

　　∴　n=k+1时命题成立

综合(1)，(2)，n≥0，n∈Z时命题成立．

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(n∈N+)，
①求通项公式a_n的表达式；
②令bn=(

)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=

Tn的大小，并加以证明；
③当a＞1时，不等式

(log a+1x-log ax+1)对于不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

请先阅读：
设可导函数 f（x）满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x）的两边对x求导，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化简得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=

x2+…+

xn（x∈R，整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=2