Question

∫

1 -1

(

1-x2

+ex-1)dx=

π

2

+e-

1

e

-2

．

Answer 1

分析：法一：先使用三角换元法求出

∫

1 -1

1-x2

dx，进而得出答案．
法二：利用定积分的意义可知：

∫

1 -1

1-x2

dx表示曲线y=

1-x2

与x轴所围成的图形的面积，如图所示，即可算出．

解答：解：法一：对于

∫

1 -1

1-x2

dx，令x=sint，
∵x∈[-1，1]，取t∈[-

π

2

，

π

2

]，则

∫

1 -1

1-x2

dx=

∫

π 2 - π 2

costdsint=

∫

π 2 - π 2

cos2tdt=

∫

π 2 - π 2

1+cos2t

2

dt=

1

2

(t+

1

2

sin2t)

|

π 2 - π 2

=

π

2

．
法二：令y=

1-x2

，当-1≤x≤1时，表示如图所示的上半圆，
∴

∫

1 -1

1-x2

dx表示的是此半圆的面积=

1

2

×π×12=

π

2

．
∵

∫

1 -1

(ex-1)dx=(ex-x)

|

1 -1

=e-

1

e

-2，
∴

∫

1 -1

(

1-x2

+ex-1)dx=

π

2

+e-

1

e

-2．
故答案为

π

2

+e-

1

e

-2．

点评：正确使用换元法、利用定积分的意义和微积分基本定理是解题的关键．利用换元法求定积分也是常用方法之一，属于较高要求．