Question

设函数（x＞0），其中[x]表示不超过x的最大整数，如[2]=2，=0，[1.8]=1．
（1）求的值；
（2）若在区间[2，3）上存在x，使得f（x）≤k成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为，
所以
（2）因为2≤x＜3，
所以，
则．
求导得，当2≤x＜3时，显然有f'（x）＞0，
所以f（x）在区间[2，3）上递增，
即可得f（x）在区间[2，3）上的值域为，
在区间[2，3）上存在x，使得f（x）≤k成立，
所以．
分析：（1）先根据[x]表示不超过x的最大整数求出与的值，然后代入函数即可求出的值；
（2）先求出函数f（x）的解析式，然后利用导数研究出函数的单调性，求出函数在[2，3）上的最大值，即可求出k的范围．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值，题目比较新颖，在高考中常考恒成立问题，属于中档题．