Question

若向量

a

=(3sin(ωx+φ)，

3

sin(ωx+φ))，

b

=(sin(ωx+φ)，cos(ωx+φ))，其中ω＞0，0＜φ＜

π

2

，设函数f(x)=

a

•

b

-

3

2

，其周期为π，且x=

π

12

是它的一条对称轴．
（1）求f（x）的最小正周期
（2）当x∈[0，

π

4

]时，不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积化简函数的表达式，通过二倍角公式、两角和与差的三角函数化为一个角的一个三角函数的形式，然后求f（x）的最小正周期．
（2）当x∈[0，

π

4

]时，不等式f（x）+a＞0恒成立，转化为求出函数f（x）的最大值，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

-

3

2

．（2分）
=(3sin(ωx+φ)，

3

sin(ωx+φ))•(sin(ωx+φ)，cos(ωx+φ))-

3

2

=3sin2(ωx+φ)+

3

sin(ωx+φ)•cos(ωx+φ)-

3

2

=

3

[

1

2

sin2(ωx+φ)-

3

2

cos2(ωx+φ)]
=

3

sin(2ωx+2φ-

π

3

)．（4分）
（1）∵周期为π∴ω=1．（5分）
又∵x=

π

12

为其一条对称轴∴2•

π

12

+2φ-

π

3

=

π

2

+kπ(k∈Z)
∵0＜φ＜

π

2

故φ=

π

3

．（7分）
∴f(x)=

3

sin(2x+

π

3

)．（8分）
（2）∵x∈[0，

π

4

]∴

π

3

≤(2x+

π

3

)≤

5

6

π．（9分）
f(x)=

3

sin(2x+

π

3

)的最小值为

3

2

．（11分）
由f（x）+a＞0恒成立，得a＞-

3

2

所以a的取值范围为(-

3

2

，+∞)．（12分）

点评：本题是中档题，考查向量的数量积，三角函数的化简求值，周期的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力，转化思想．