Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M的最短路线长为

29

，设这条最短路线与CC₁的交点为N，求：
（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）PC和NC的长
（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）

Answer 1

分析：（I）由展开图为矩形，用勾股定理求对角线长．
（II）在侧面展开图中三角形MAP是直角三角形，可以求出线段AP的长度，进而可以求出PC的长度，再由相似比可以求得CN的长度．
（III）补形，找出两面的交线，在特殊的位置作出线面角，如图2．二面角易求．

解答：解：（I）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为

92+42

=

97

（II）如图1，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°使其与侧成AA₁C₁C在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连接MP₁，则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短路线

设PC=x，则P₁C=x，在Rt△MAP₁中，由勾股定理得（3+x）²+2²=29
求得x=2
∴PC=P₁C=2
∵

NC

MA

=

P1C

P1A

=

2

5

∴NC=

4

5

（III）如图2，连接PP₁，则PP₁就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，连接CH，由三垂线定理得，CH⊥PP₁

∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）
在Rt△PHC中，∵∠PCH=

1

2

∠PCP1=60°，∴CH=

PC

2

=1
在Rt△NCH中，tan∠NHC=

NC

CH

=

4 5

1

=

4

5

故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctan

4

5

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．