Question

如图，已知直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），求p的值．

Answer 1

分析：A、B两点在抛物线y²=2px上，可设点A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂），根据向量

OA

、

OB

互相垂直，利用数量积列式，化简得y1y2=-4p2．利用经过两点的斜率公式，得直线AB的斜率为k=

2p

y1+y2

，结合点斜式方程得到直线AB的方程为y-y1=

2p

y1+y2

(x-

y12

2p

)，令y=0，化简可得x=2p，所以直线AB经过x轴上的定点M（2p，0）．然后根据OD⊥AB，得到直线AB的斜率为-2，最后结合D、M的坐标，可得k=

0-1

2p-2

=-2，解之得p=

5

4

．

解答：解：因为A、B两点在抛物线y²=2px上，设点A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂）
∵

OA

⊥

OB

 
∴

OA

•

OB

=

y12

2p

•

y22

2p

 +y1y2=0⇒y1y2(

y1y2

4p2

+1)=0
∵y₁y₂≠0，∴

y1y2

4p2

+1=0⇒y1y2=-4p2…①
∵直线AB的斜率为k=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

∴直线AB的方程为y-y1=

2p

y1+y2

(x-

y12

2p

)，
令y=0，得-y1=

2p

y1+y2

(x-

y12

2p

)⇒-y12-y1y2=2px-y12
∴-y₁y₂=2px…②
将①代入②，得4p²=2px⇒x=2p
所以直线AB经过x轴上的定点M（2p，0）
∵OD⊥AB，OD的斜率为k₁=

0-1

0-2

=

1

2

∴直线AB的斜率为k=

-1

k1

=-2，
∴结合D、M的坐标，可得k=

0-1

2p-2

=-2，解之得p=

5

4

．

点评：本题给出过原点的直线与抛物线交于A，B两点，且OA⊥OB，并且已知原点在直线AB上的射影坐标，求抛物线的焦参数值．着重考查了抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线间的关系等知识点，属于难题．