Question

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n为数列{}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对?n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出此等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和公式化简S₄=14得到关于首项和公差的关系式，又a₁，a₃，a₇成等比数列，根据等比数列的性质得到关于首项和公差的另一关系式，两关系式联立即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列{a_n}的通项公式即可；（II）把（I）中求出的数列{a_n}的通项公式代入数列中，根据=-，列举出数列的前n项和的每一项，抵消后得到T_n的通项公式，将求出的T_n的通项公式和a_n+1的通项公式代入已知的不等式中，解出λ大于等于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最大值，即可得到实数λ的最小值．
解答：解：（I）设公差为d，由已知得：，
即，
解得：d=1或d=0（舍去），
∴a₁=2，
故a_n=2+（n-1）=n+1；
（II）∵==-，
∴T_n=-+-+…+-=-=，
∵T_n≤λa_n+1对?n∈N^*恒成立，即≤λ（n+2），λ≥?n∈N^*恒成立，
又=≤=，
∴λ的最小值为．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，掌握不等式恒成立时满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．学生在求数列{}的前n项和时，注意利用=-．