Question

已知双曲线，焦距2c=4，过点（2，3），
（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程．
（2）直线l：y=kx+1与双曲线有且仅有一个公共点，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得：，解得a，b，c即可．
（2）联立消y得：（3-k²） x²-2kx-4=0．分当3-k²=0时，与当3-k²≠0时，△=0．解得k即可．
解答：解：（1）由已知得：，解得．
∴双曲线的方程为，
双曲线的渐近线：．
（2）联立消y得：（3-k²） x²-2kx-4=0．
当3-k²=0时，即，，
此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点，满足题意．        
当3-k²≠0时，△=4 k²-4（3-k²）（-4）=0．解得k=±2．
综上所述或k=±2．
点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线的相交问题掌握方程联立利用△与的关系、分类讨论的思想方法等是解题的关键．