题目内容

已知α+2β= $数学公式$ ，α和β为锐角；
（1）若tan（α+β）=2+ $数学公式$ ；求β；
（2）若tanβ=（2- $数学公式$ ）cot $数学公式$ ，满足条件的α和β是否存在？若存在，请求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）因为α+2β= $\text{[math]}$ ，
∴tanβ=tan[（α+2β）-（α+β）]= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1
由β为锐角，得到β= $\text{[math]}$ ．
（2）由α+2β= $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ +β= $\text{[math]}$ ，
∴tan（ $\text{[math]}$ +β）= $\text{[math]}$ =tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵tanβ=（2- $\text{[math]}$ ）cot $\text{[math]}$ 即tan $\text{[math]}$ tanβ=2- $\text{[math]}$
∴tan $\text{[math]}$ +tanβ=3- $\text{[math]}$ ，
于是tan $\text{[math]}$ 和tanβ是一元二次方程x²-（3- $\text{[math]}$ ）x+2- $\text{[math]}$ =0的两根，
解得x₁=1，x₂=2- $\text{[math]}$ ．
若tan $\text{[math]}$ =1，则α=90°与0＜α＜90°矛盾，舍去；
∴tan $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
故满足条件的α和β存在，且α=30°，β=45°．
分析：（1）根据β=[（α+2β）-（α+β）]，然后利用两角差的正切函数公式对等式两边取正切，根据tan（α+β）=2+ $\text{[math]}$ 和α+2β= $\text{[math]}$ 化简得到tanβ的值，根据特殊角的三角函数值求出β即可；
（2）由α+2β= $\text{[math]}$ 两边除以2得到 $\text{[math]}$ +β= $\text{[math]}$ ，两边去正切值得到正切之和和正切之积的关系，然后再根据tanβ=（2- $\text{[math]}$ ）cot $\text{[math]}$ 得到正切之和，正切之积的值，利用根与系数的关系写出一个方程，求出方程的解，利用特殊角的三角函数值求出α和β，故存在这样的角度满足条件．
点评：此题把三角函数和一元二次方程综合在一起，考查学生灵活运用角的变换，灵活运用两角差的正切函数的公式化简求值．