Question

已知a＜1，解关于x的不等式

ax

x-1

＞1．

Answer 1

分析：这是一个含有字母系数的不等式，仔细观察原不等式，通过去分母、移项并合并得到：

(a-1)x+1

x-1

＞0，再对于字母a分情况讨论，即可求得解集．

解答：解：原不等式可化为

ax

x-1

-1＞0?

ax-x+1

x-1

＞0?

(a-1)x+1

x-1

＞0
?（（a-1）x+1）（x-1）＞0?(x+

1

a-1

)(x-1)＜0(∵a＜1，
∴a-1＜0）------------------（4分）
1⁰当-

1

a-1

=1，即a=0时，原不等式等价于（x-1）²＜0⇒x∈?；----（6分）
2⁰当-

1

a-1

＞1，即a＞0时，原不等式等价于1＜x＜

1

1-a

；---------------（8分）
3⁰当-

1

a-1

＜1，即a＜0时，原不等式等价于

1

1-a

＜x＜1．---------------（10分）
综上所述：
当a＜0时，原不等式的解集为(

1

1-a

，1)；---------------------------------------（11分）
当a=0时，原不等式的解集为?；--------------------------------------------------（12分）
当a＞0时，原不等式的解集为(1，

1

1-a

)．----------------------------------------（13分）

点评：本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．注意分四种情况讨论．