Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD．
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．
（2）当a=4时，求D点到平面PBC的距离．
（3）当a=4时，求直线PD与平面PBC所成的角．

Answer 1

解：以A为坐标原点，AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
（1）当a=2时，BD⊥AC，又PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．故a=2．
（2）当a=4时，D（4，0，0）、B（0，2，0）、C（4，2，0）、P（0，0，2），
则=（0，2，-2），=（4，0，0），=（0，2，0）．
设平面PBC的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0，
即（x，y，z）•（0，2，-2）=0，（x，y，z）•（4，0，0）=0，
得x=0，y=z，不妨取y=1，故=（0，1，1）．
则D点到平面PBC的距离d==．
（3）由（2）知，=（-4，0，2），
则cos＜，＞==＞0，
设＜，＞=α，直线PD与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=sin（-α）=cosα=．
所以直线PD与平面PBC所成的角为arcsin．
分析：（1）由两组线线垂直即可判定线面垂直，而已有BD⊥PA，所以只需BD⊥AC则可判定BD⊥平面PAC，故a=2即可．
（2）先由平面PBC中的、确定它的一个法向量，然后求出在法向量上的投影长，即D点到平面PBC的距离．
（3）先由与的夹角确定它们所在直线的夹角，则该角的余角即为直线PD与平面PBC所成的角．
点评：本题主要考查向量法解决立体几何中的距离及夹角问题．