Question

（1）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-

1

3

．求动点P的轨迹方程．
（2）

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，原点到直线AB的距离为

3

2

，其中A（0，-b）、B（a，0）求该双曲线的标准方程．

Answer 1

（1）∵点B与点A（-1，1）关于原点O对称，∴B（1，-1），
设点P的坐标为（x，y），则
∵直线AP与BP的斜率之积等于-

1

3

，
∴

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

3

化简可得x²+3y²=4（x≠±1）；
（2）∵e=2，∴1+

b2

a2

=4，∴b²=3a²①
∵AB的方程为bx-ay-ab=0
∴由点到直线的距离公式可得

ab

a2+b2

=

3

2

②
联立①②，解得a²=1，b²=3
∴双曲线方程为x2-

y2

3

=1．