题目内容

（12分）对定义在[0, 1]上并且满足下列两个条件的函数称为G函数。①对任意的，②成立。已知是定义在[0, 1]上的函数。

（1）问是否为G函数，说明理由；

（2）若是G函数，求实数m取值的范围。

 

【答案】

 

（1）是G函数，满足①②条件

（2）

（3）{1}

【解析】（1）是G函数，满足①②条件

（2）

 

练习册系列答案
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已知函数f（x）满足f(logax)=
aa2-1
(x-x-1)(a＞0，a≠1)，
（Ⅰ）求f（x）的解析式并判断其单调性；
（Ⅱ）对定义在（-1，1）上的函数f（x），若f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的取值范围；
（Ⅲ）当x∈（-∞，2）时，关于x的不等式f（x）-4＜0恒成立，求a的取值范围．
（2009•上海模拟）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总f（x）≥0；
②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2成立．
已知函数g（x）=x2与h（x）=a&•2x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程g（2x-1）+h（x）=m（m∈R）解的个数情况．
对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
已知函数g（x）=x2与h（x）=a•2x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数m，使方程g（2x-1）+h（x）=m恰有两解？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

设f(x)是定义在[0,1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，1]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

  (I)证明：对任意的∈(O，1)，，若f()≥f()，则(0，)为含峰区间：若f()f()，则为含峰区间：

  (II)对给定的r(0<r<0.5)，证明：存在∈(0，1)，满足，使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r：

  (III)选取∈(O，1)，，由(I)可确定含峰区间为或，在所得的含峰区间内选取，由与或与类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为（0，）的情况下，试确定的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0. 34（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

 

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