Question

【题目】已知椭圆经过点，离心率为， 为坐标原点．

（I）求椭圆的方程．

（II）若点为椭圆上一动点，点与点的垂直平分线l交轴于点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（I）由离心率得到，再由椭圆过点E可求得， ，故可得椭圆的方程；（II）设点，结合条件可得AP的垂直平分线的方程为： ，令，得，再由点P在椭圆上可得得，化简点，求出|OB|后用基本不等式求解即可。

试题解析：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，

所以，故，

所以椭圆的方程为为，

又点在椭圆上，

所以，

解得，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，设点，

则线段的中点的坐标为，且直线的斜率，

因为直线，

故直线的斜率为，且过点，

所以直线的方程为： ，

令，得，

则，

由，得，

化简得．

所以．

当且仅当，即时等号成立．

所以的最小值为．