Question

在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为πi、cos（2t-）+isin（2t-）（i为虚数单位），则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是    ．

Answer 1

【答案】分析：当t=时，求得点P的坐标为P₁（，-），当t= 时，点P的坐标为P₂（，）．向量所扫过的图形区域的面积是△AP₁P₂的面积与弓形的面积之和，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形P₁OP₂的面积．再根据∠P₁OP₂=2×=，求得扇形P₁OP₂的面积．
解答：解：由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为（0，π）．
 t=时，点P的坐标为P₁（，-）； 当t= 时，点P的坐标为P₂（，），
向量所扫过的图形区域的面积是△AP₁P₂的面积与弓形的面积之和，
而△AP₁P₂的面积等于△OP₁P₂的面积（因为这两个三角形同底且等高），
故向量所扫过的图形区域的面积是扇形P₁OP₂的面积．
由于∠P₁OP₂=2×=，∴扇形P₁OP₂的面积为
等于 =，
故答案为 ．
点评：本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，扇形的面积公式的应用，
属于基础题．