Question

等比数列{a_n}的前n 项和为S_n，已知S₁，S₃，S₂成等差数列
（Ⅰ）求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）求a₁-a₃=3，求数列{a_n}的通项公式
（Ⅲ）数列{na_n}的前n项的和T_n…

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得2（a₁+a₂+a₃）=a₁+（a₁+a₂），由此求得公比q=

a3

a2

 的值．
（Ⅱ）由 a₁-a₃=3和q=-

1

2

可得a₁的值，从而求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）求出数列{na_n}的前n项的和T_n =4[1+2（-

1

2

）+3(-

1

2

)2+…+n(-

1

2

)n-1，用错位相减法求出前n项的和T_n 的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意S₁，S₃，S₂成等差数列，可得2（a₁+a₂+a₃）=a₁+（a₁+a₂），
即 2a₃ +a₂=0，∴等比数列{a_n}的公比q=

a3

a2

=-

1

2

．
（Ⅱ）∵a₁-a₃=3，∴a1-a1q2=3，再由q=-

1

2

可得 a₁=4，a_n =4(-

1

2

)n-1．
（Ⅲ）数列{na_n}的前n项的和T_n =a₁+2a₂+3a₃+…+na_n =4[1+2（-

1

2

）+3(-

1

2

)2+…+n(-

1

2

)n-1，
-

1

2

 T_n =4[（-

1

2

）+2(-

1

2

)2+3(-

1

2

)3+…+n (-

1

2

)n]，
∴

3

2

T_n =4[1+（-

1

2

）+(-

1

2

)2+(-

1

2

)3+…+(-

1

2

)n-1-n (-

1

2

)n]，
∴T_n =

8

3

×[

1-(- 1 2 )n-1

1-(- 1 2 )

-n(-

1

2

)n]=

8

3

×[

2

3

-

2

3

(-

1

2

)nn (-

1

2

)n]．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．