Question

已知函数f（x）=x^a（0＜a＜1）对于下列命题：
①若x＞1，则f（x）＞1；
②若0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；
③若f（x₁）＞f（x₂）则x₁＞x₂；
④若0＜x₁＜x₂，则x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）；
⑤若0＜x₁＜x₂，则

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

）．
其中正确的命题序号是

①③⑤

．

Answer 1

分析：利用函数f（x）=x^a（0＜a＜1）的单调性对①②③可作出判断，命题④，函数

f(x)

x

=

xa

x

=x^a-1，a-1＜0，函数单调递减，从而可判断④，命题⑤，函数是凸函数，因此中点的函数值，比两端点的函数和的一半要大，从而得到答案．

解答：解：由幂函数的定义和性质可以知道
当f（x）=x^a（0＜a＜1）时，则在第一象限单调递增，所以
命题①，x＞1，则f（x）＞1成立；
命题②，根据单调增函数的定义，对应的自变量大，函数值大，
因此0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）＞0，成立，原命题错误；
命题③，根据单调增函数的定义，函数值大，对应的自变量也大．因此正确；
命题④，函数

f(x)

x

=

xa

x

=x^a-1，a-1＜0，函数单调递减，故原命题不成立．
命题⑤，函数是凸函数，因此中点的函数值，比两端点的函数和的一半要大，故原命题成立．
故答案为：①③⑤

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查幂函数的单调性，属于中档题．