Question

如图，设OA、OB是过抛物线y²=2px顶点O的两条弦，且

OA

•

OB

=0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹．

Answer 1

分析：设出直线方程与抛物线方程分别联立，求得A，B的坐标，从而可得OA、OB为直径的两圆的方程，进而可得以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程

解答：解：设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0，则OA的方程为y=kx
由

y=kx y2=2px

，解得A（

2p

k2

，

2p

k

）
又由

OA

•

OB

=0，知OA⊥OB，所以OB的方程为y=-

1

k

x
由

y=- 1 k x y2=2px

，解得B（2pk²，-2pk）
从而OA的中点为A'（

p

k2

，

p

k

），OB的中点为B'（pk²，-pk）
所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为
x²+y²-

2px

k2

-

2py

k

=0                    …①
x²+y²-2pk²x+2pky=0                 …②
∵P（x，y）是异于O点的两圆交点，
所以x≠0，y≠0
由①-②并化简得y=（k-

1

k

）x            …③
将③代入①，并化简得x（k²+

1

k2

-1）=2p   …④
由③④消去k，有x²+y²-2px=0
∴点P的轨迹为以（p，0）为圆心，p为半径的圆（除去原点）．

点评：本题以抛物线为载体，考查向量知识的运用，考查轨迹方程与轨迹，解题的关键是确定以OA、OB为直径的圆的方程．