Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O。

（1）证明在侧棱AA₁上存在一点E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的长；
（2）求平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的余弦值。

Answer 1

解：（1）证明：连接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，
因为AA₁∥BB₁，
所以OE⊥BB₁，
因为A₁O⊥平面ABC，
所以BC⊥平面AA₁O，
所以BC⊥OE，
所以OE⊥平面BB₁C₁C，
又AO==1，AA₁=，
得AE==。
（2）如图，分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A₁（0，0，2）
由，得点E得坐标是（），
设平面A₁B₁C的法向量是=（x，y，z），
由得
令y=1，得x=2，z=-1，
所以=（2，1，-1），
所以cos＜，＞==
即平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的余弦值为。