Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+t（t＞0）与椭圆C交于A，B两点．若原点O在以线段AB为直径的圆内，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意，可知m＞1，且，由此可m²=2，从而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则原点O在以线段AB为直径的圆内，等价于x₁x₂+y₁y₂＜0，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，可建立不等式，从而可求实数t的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）依题意，可知m＞1，且，所以，所以m²=2，即椭圆C的方程为．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则原点O在以线段AB为直径的圆内，等价于（A，O，B三点不共线），也就等价于，即x₁x₂+y₁y₂＜0…①…（7分）
联立，得3x²+4tx+2（t²-1）=0，所以△=16t²-24（t²-1）＞0，即0＜t²＜3…②
且…（10分）
于是
代入①式得，，即适合②式…（12分）
又t＞0，所以解得即求．…（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查韦达定理，解题的关键是联立方程，运用韦达定理解题．