Question

如图，已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且=．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）我们可设出点P的坐标（x，y），由直线l：x=-1，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，则Q（-1，y），则我们根据，构造出一个关于x，y的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；
（2）由过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，我们可以设出直线的点斜式方程，联立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求λ₁+λ₂的值．
解法二：（1）由得，进而可得．根据抛物线的定义，我们易得动点的轨迹为抛物线，再由直线l（即准线）方程为：x=-1，易得抛物线方程；
（2）由已知，，得λ₁•λ₂＜0．根据抛物线的定义，可们可以将由已知，，转化为，进而求出λ₁+λ₂的值．
解答：解：法一：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（-1，y），
由得：
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），
化简得C：y²=4x．

（Ⅱ）设直线AB的方程为：x=my+1（m≠0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又，
联立方程组，
消去x得：y²-4my-4=0，
∴△=（-4m）²+16＞0，
故
由，得：
，，
整理得：，，
∴===0．
法二：（Ⅰ）由得：
，
∴，
∴，∴．
所以点P的轨迹C是抛物线，
由题意，轨迹C的方程为：y²=4x．
（Ⅱ）由已知，，
得λ₁•λ₂＜0．则：
．①
过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，则有：
．②
由①②得：，
即λ₁+λ₂=0．
点评：本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．