Question

已知函数f（x）=|x|（x-a）在[-1，+∞）的最小值为g（a），
（1）求g（a）的解析式
（2）是否存在非零实数k，b，使得有无数个实数t，满足等式g（t）-kt-b=0（k≠0），若存在求实数k，b的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）f（x）=|x|（x-a）=

x2-ax        x≥0 -x2+ax      x＜0

，分类结合图象可得；
（2）作出g（t）的图象，可得当y=kt+b与第二段解析式对应的直线重合时，符合题意．

解答：解：（1）f（x）=|x|（x-a）=

x2-ax        x≥0 -x2+ax      x＜0

，

①当a≤-1时，f（x）的图象如图所示，故g（a）=0，
②当-1＜a≤-0时，f（x）的图象如图2所示，故g（a）=f（-1）=0，
③当a＞0时，如第三个图，由f（

a

2

）-f（-1）=-

a2

4

+a+1≥0，得a≤2+2

2

，
故当0＜a＜2+2

2

时，g（a）=f（-1）=-1-a，当a≥2+2

2

时，g（a）=f（

a

2

）=-

a2

4

，
综上可得g（a）=

0               a≤-1 -1-a      -1＜a＜2+2 2 - a2 4          a≥2+2 2

；
（2）由（1）可得g（t）=

0               t≤-1 -1-t      -1＜t＜2+2 2 - t2 4          t≥2+2 2

，作其图象如下：

故当k=-1，b=-1时，有无数个实数t，满足等式g（t）-kt-b=0（k≠0），
此时与第二段解析式对应的直线重合．

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及数形结合和分类讨论的思想，属中档题．