Question

已知：数列{a_n}前n项和为S_n，a_n+S_n=n，数列{b_n}中b₁=a₁，b_n+1=a_n+1-a_n，
（1）写出数列{a_n}的前四项；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（3）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

（1）∵a_n+S_n=n，∴n=1时，a1=

1

2

n=2时，a₂+S₂=2，∴a2=

3

4

n=3时，a₃+S₃=3，∴a3=

7

8

n=4时，a₄+S₄=4，∴a4=

15

16

；…（2分）
（2）猜想：an=1-

1

2n

，下面用数学归纳法证明：…（3分）
①当n=1时，a1=1-

1

21

=

1

2

，猜想成立；
②假设当n=k时猜想成立，即ak=1-

1

2k

，
则当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)-ak+1-k+ak=-ak+1+1+1-

1

2k

，
即2ak+1=2-

1

2k

，∴ak+1=1-

1

2k+1

，即当n=k+1时猜想也成立，
∴由①②知：n∈N^*时an=1-

1

2n

都成立．…（8分）
（3）∵b_n+1=a_n+1-a_n，∴bn=an-an-1=

1

2n

（n≥2），
∵b1=a1=

1

2

，∴bn=

1

2n

（n∈N^*）．…（10分）