Question

设f(x)是定义在R上的增函数,若不等式f(1－ax－ )<f(2－a)对任意x∈[0,1]都成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

解析：∵f(x)是R上的增函数.　　∴不等式f(1－ax－ )<f(2－a) 对任意x∈[0,1]都成立.
　　 不等式1－ax－ <2－a　　 对任意x∈[0,1]都成立　 +ax－a+1>0　　 对任意x∈[0,1]都成立①
　　解法一: (向最值问题转化,以对称轴的位置为主线展开讨论.)
　　令g(x)= +ax－a+1,　　
则①式 g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立. g(x)在区间[0,1]上的最小值大于0.②注意到g(x)图象的对称轴为x=－
　　(1)当－ ≤0即a≥0时,　由②得g(0)>0 －a+1>0 a<1,即0≤a<1;
　　(2)当0<－ ≤1时,即－2≤a<0时,　由②得g(－ )>0 1－a－ >0 +4a－4<0<8
　　当－2≤a<0时,这一不等式也能成立.
　　(3)当－ >1即a<－2时.由②得g(1)>0 2>0即当a<－2时,不等式成立.
　　于是综合(1)(2)(3)得所求实数a的取值范围为[0,1）∪[－2,0]∪(－∞,－2),　即 (－∞,1).
　　解法二: (以△的取值为主线展开讨论)对于二次三项式g(x)= +ax－a+1,
其判别式△= +4(a－1)　= +4a－4△<0<8 － －2<a< －2
　　(1)当△<0时,g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立,此时－ －2<a< －2;
　　(2)当△≥0时,由g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立得
　　  
　　  －2≤a<1　　 或a≤－ －2.
于是由(1)(2)得所求a的取值范围为（－ －2, －2）∪[ －2,1）∪(－∞, － －2]　即 (－∞,1).