Question

过双曲线

x2

2

-y2=1的右焦点，且倾斜角为45°的直线交双曲线于点A、B，则|AB|=

4

2

．

Answer 1

分析：由题意可得右焦点坐标，由直线的倾斜角可得斜率，进而可得直线的方程，与曲线方程联立消y可得关于x的方程，由根与系数关系可得x₁+x₂=4

3

，x₁•x₂=8，代入弦长公式|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

化简可得答案．

解答：解：∵双曲线的方程为：

x2

2

-y2=1，
∴a=

2

，b=1，c=

a2+b2

=

3

，
故双曲线的右焦点坐标为（

3

，0）
故直线AB的方程为y=x-

3

，与

x2

2

-y2=1联立，
消掉y并整理可得x2-4

3

x+8=0，（*）
显然△=(-4

3

)2-4×1×8=16＞0，
故方程（*）有两个不等实根x₁，x₂，
由根与系数关系可得x₁+x₂=4

3

，x₁•x₂=8，
故|AB|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(4 3 )2-4×8]

=4

2

故答案为：4

2

点评：本题考查双曲线的性质，涉及弦长公式的应用，属中档题．