Question

【题目】已知是定义域为的偶函数，对，有，且当时，，函数.现给出以下命题：①是周期函数；②的图象关于直线对称；③当时，在内有一个零点；④当时，在上至少有六个零.其中正确命题的序号为________.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根据，有，利用周期函数的定义判断；②根据是定义域为的偶函数，有，再结合判断；③令，即，在同一坐标系中作出，用数形结合法判断；④在同一坐标系中作出，用数形结合法判断.

①因为对，有，所以是周期函数，故正确；

②因为是定义域为的偶函数，所以，又因为对，有，所以，即，所以的图象关于直线对称，故正确；

③当时，令，

即，在同一坐标系中作出

的图象如图所示：

所以在内无零点，故错误；

④当时，令，

在同一坐标系中作出，

的图象如下图所示：

，

而，

当时，与至少有三个交点，

与为偶函数，

与至少有六个交点，

所以在上至少有六个零点，故正确.

所以正确命题的序号为①②④

故答案为：①②④