题目内容
【题目】已知椭圆E：
（
）的焦点为
，以原点O为圆心，椭圆E的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点F的直线l交椭圆E于M，N两点，点P的坐标为
，直线
与x轴交于A点，直线
与x轴交于B点，求证：
.
【答案】（1）
；（2）见解析.
【解析】
（1）根据直线与圆相切列出对应方程，再结合椭圆的基本知识计算求解即可；
（2）先讨论l与y轴重合时的情况，再在l与y轴不重合的情况下，设
，
，l的方程为
，将之与椭圆方程联立，得到韦达定理.解法一：利用韦达定理化简证明
，从而证明出
；解法二：设
，
，
：
，
：
，然后根据方程求出
，再结合韦达定理证明
，从而证明出.
（1）由已知得
，
，因此
，
所以椭圆E的方程为.
（2）解法一：
①当l与y轴重合时，由题意知
.
②当l与y轴不重合时，设l的方程为，，，则
，
，
直线，的斜率之和为
，
由
，
得
，
将代入，得
，
，
所以
，
，
所以
，
从而，故，的倾斜角互补，
所以
，因此.
综上所述，.
解法二：
①当l与y轴重合时，由题意知.
②当l与y轴不重合时，设l的方程为，，，则，，
将代入得.
，
所以，.
设：，：，，
易知
，
，
在中，令
得
，
在中，令得
，
于是
，
由，得
，
由于
，因此，
所以点A与点B关于原点O对称，
而点P在y轴上，因此.
综上所述，.
【题目】按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径
的大小分为不同等级.某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售.为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单位：mm）：
d |
|
|
|
|
|
等级 | 三级品 | 二级品 | 一级品 | 特级品 | 特级品 |
频数 | 1 | m | 29 | n | 7 |
用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个.
（1）估计这批水果中特级品的比例；
（2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案：
方案A：以6.5元/斤收购；
方案B：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋.
用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由.
【题目】今年情况特殊，小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究．
、
两个投资项目的利润率分别为投资变量
和
．根据市场分析，和的分布列分别为：
| 5% | 10% | ||
| 0.8 | 0.2 | ||
| 2% | 8% | 12% | |
| 0.2 | 0.5 | 0.3 | |
（1）若在
两个项目上各投资
万元，
和
分别表示投资项目和所获得的利润，求方差
，
；
（2）若在两个项目上共投资
万元，那么如何分配，能使投资项目所得利润的方差与投资项目所得利润的方差的和最小，最小值是多少？
（注：
）
