Question

如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先写出过A、B的直线方程，因为由题意得有惟一解．消去y得：有惟一解，
利用其根的判别式等于0，即可求得a，b的值，从而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以由解得x₁=x₂=1，接下来利用距离公式求得线段的长，从而证得．
解答：解：（Ⅰ）过A、B的直线方程为
因为由题意得有惟一解．
即有惟一解，
所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），，
故（a²+4b²-4）=0
又因为，即，
所以a²=4b²
从而得，
故所求的椭圆方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以
由解得x₁=x₂=1，，
因此．
从而，
因为，
所以
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线方程、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、方程思想．属于中档题．