Question

已知在等差数列{a_n}中，a₃=4前7项和等于35，数列{b_n}中，点（b_n，s_n）在直线x+2y-2=0上，其中s_n是数列{b_n}的前n项和（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）设c_n=a_n•b_n•T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n并证明；≤T_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）假设数列{a_n}的首项与公差为d，利用a₃=4，前7项和等于35，可建立方程组，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据点（b_n．s_n）在直线x+2y-2=0上，可得b_n+2s_n-2=0，再写一式b_n-1+2s_n-1-2=0（n≥2），作差化简可得b_n=b_n-1（n≥2），从而可知数列{b_n}是等比数列；
（3）由（2）知，b_n=•（）^n-1=，从而c_n=a_n•b_n=（n+1）•，T_n=+++…+，同乘
T_n=+++…+，作差，进而可求T_n从而可证≤T_n＜．
解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，则由题意知：
得∴a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1…（3分）
（2）∵点（b_n．s_n）在直线x+2y-2=0上
∴b_n+2s_n-2=0----①，b_n-1+2s_n-1-2=0（n≥2）-----②
①-②得b_n-b_n-1+2b_n=0，∴b_n=b_n-1（n≥2），…（6分）
又当n=1时，b₁=-b₁+1∴b1=≠0
∴数列{b_n}是以为首项，为公比的等比数列．…（9分）
（3）由（2）知，b_n=•（）^n-1=，
∴c_n=a_n•b_n=（n+1）•T_n=+++…+-----------③
T_n=+++…+------④
③-④得，T_n=+++…+
∴T_n=2++++…+=2+-
=2+）-=-  …（14分）
T_n=-＜由③知T_n的最小值是T₁=
∴≤T_n＜…（16分）
点评：本题以等差数列为载体，考查等差数列的通项与前n项和，考查等比数列，考查错位相减法求和．