Question

设函数f(x)为R上的增函数，令g(x)=f(x)-f(2-x).

（1）求证：g(x)为R上的增函数；

（2）若g(x₁)+g(x₂)＞0，求证：x₁+x₂＞2.

Answer 1

证明：（1）任取x₁＜x₂∈R，则有2-x₁＞2-x₂.

    ∵f(x)为R上的增函数，

    ∴f(x₁)＜f(x₂),f(2-x₁)＞f(2-x₂).

    ∴g(x₂)-g(x₁)=［f(x₂)-f(2-x₂)］-［f(x₁-f(2-x₁))］=［f(x₂)-f(x₁)］+［f(2-x₁)-f(2-x₂)］＞0.

    ∴g(x₂)＞g(x₁),g(x)为R上的增函数.

    （2）∵g(x₁)+g(x₂)＞0，

    ∴g(x₁)＞-g(x₂),

    ∴g(x₁)＞f(2-x₂)-f(x₂).

    又g(2-x₂)=f(2-x₂)-f(x₂),

    ∴g(x₁)＞g(2-x₂)，∴x₁＞2-x₂,

    ∴x₁+x₂＞2.