Question

3．已知函数f（x）=x+$\frac{{3{a^2}}}{x}$-2alnx在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围．

• A． [-$\frac{1}{3}$，1]
• B． [-1，$\frac{1}{3}$]
• C． [$\frac{1}{3}$.$\frac{2}{3}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，1]（

Answer 1

分析 函数在区间（1，2）内是增函数，转化成导数在这个区间上大于等于0恒成立问题，然后把恒成立转化成导数的最小值大于等于0．

解答 解：∵f′（x）=1-$\frac{3{a}^{2}}{{x}^{2}}$-$\frac{2a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2ax-3{a}^{2}}{{x}^{2}}$
  要使函数f（x）=x+$\frac{{3{a^2}}}{x}$-2alnx在区间（1，2）上单调递增，
需f′（x）≥0在（1，2）上恒成立；
  即$\frac{{x}^{2}-2ax-3{a}^{2}}{{x}^{2}}$≥0在（1，2）上恒成立，
  即x²-2ax-3a²≥0在（1，2）上恒成立，
  设h（x）=x²-2ax-3a²，则它的对称轴为x=a，
  ①当a≤1时，h（1）=1-2a-3a²≥0，解得-1≤a≤$\frac{1}{3}$；
  ②当1＜a＜2时，△=4a²+12a²≤0，a不存在；
  ③当a≥2时，h（2）=4-4a-3a²≥0，a不存在；
综上可知，a的取值范围是-1≤a≤$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，重点考查了转化思想与分类讨论的思想；关键是把问题转化成求最值问题解决．