Question

设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）设，整数．证明：．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：

故函数在区间（0，1）是增函数；

（Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（i）当n=1时，

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；

（）假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.而，则，

，也就是说当时，也成立；

根据（）、（）可得对任意的正整数，恒成立.

 （Ⅲ）证明：由．可得

                                

1， 若存在某满足，则由⑵知：

2， 若对任意都有，则

，即成立.