题目内容
已知函数f（x）=2x+1，g（x）=x，x∈R，数列{an}，{bn}满足条件：a1=1，an=f（bn）=g（bn+1），n∈N*．
（1）求证：数列{bn+1}为等比数列；
（2）令cn=
，Tn是数列{cn}的前n项和，求使Tn＞
成立的最小的n值．
（1）求证：数列{bn+1}为等比数列；
（2）令cn=
| 2n |
| an•an+1 |
| 2011 |
| 2012 |
分析：（1）由题意，2bn+1=bn+1，两边同加1，即可证得数列{bn+1}为首项是1，公比为2的等比数列；
（2）求出bn+1=2n-1，可得an=2bn+1=2n-1，对cn=
裂项，从而可求Tn的值，利用Tn＞
，即可求得使Tn＞
成立的最小的n值．
（2）求出bn+1=2n-1，可得an=2bn+1=2n-1，对cn=
| 2n |
| an•an+1 |
| 2011 |
| 2012 |
| 2011 |
| 2012 |
解答：（1）证明：由题意，2bn+1=bn+1，
∴2（bn+1）=bn+1+1
∵a1=2b1+1=1，∴b1=0，∴b1+1=1≠0
∴数列{bn+1}为首项是1，公比为2的等比数列；
（2）解：由（1）知，bn+1=2n-1，∴an=2bn+1=2n-1
∴cn=
=
-
∴Tn=（1-
）+（
-
）+…+（
-
）=1-
∵Tn＞
，∴2n+1＞2013，∴n≥10
∴使Tn＞
成立的最小的n值为10．
∴2（bn+1）=bn+1+1
∵a1=2b1+1=1，∴b1=0，∴b1+1=1≠0
∴数列{bn+1}为首项是1，公比为2的等比数列；
（2）解：由（1）知，bn+1=2n-1，∴an=2bn+1=2n-1
∴cn=
| 2n |
| an•an+1 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1-1 |
∴Tn=（1-
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1-1 |
| 1 |
| 2n+1-1 |
∵Tn＞
| 2011 |
| 2012 |
∴使Tn＞
| 2011 |
| 2012 |
点评：本题考查了等比数列的概念，以及数列的求和的运用．解决该试题的关键是能利用关系式，得到任意相邻两项的关系式，利用定义证明．
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