Question

已知函数f（x）=ax²+4x+b（a＜0，且a，b∈R）．设关于x的不等式f（x）＞0的解集为（x₁，x₂），且方程f（x）=x的两实根为α，β．
（Ⅰ）若|α-β|=1，试比较a，b的大小；
（Ⅱ）若α＜1＜β＜2，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由条件可得，故，化简得，根据a与的大小关系判断a，b的大小．
（Ⅱ）令g（x）=ax²+3x+b，根据x₁，x₂是方程ax²+4x+b=0的两根，可得．令，由线规划求出的取值范围．再利用导数求出h（t）=（1-t）e^1+t 在（-4，6）上的最大值为e，即h（t）≤e，不等式得证．
解答：解：（Ⅰ）由方程f（x）=x，得ax²+3x+b=0，由已知得9-4ab＞0，．
∴，
∴（α+β）²-4αβ=1，
∴，即a²+4ab=9．
∴b=，
∴=．
∴当时，a＞b；当 ； ．
（Ⅱ）令g（x）=ax²+3x+b，又a＜0，α＜1＜β＜2．
∴，即．
又x₁，x₂是方程ax²+4x+b=0的两根，∴．
令，由线性约束条件，可知的取值范围为（-4，6）．
令h（t）=（1-t）e^1+t，则h′（t）=-t•e^1+t，
∴h（t）在（-4，0）上递增，在（0，6）上递减，故函数h（t）在（-4，6）上的最大值为e，
故h（t）≤e，即 成立．
点评：本题主要考查根与系数的关系以及简单的线性规划，函数的恒成立问题，属于中档题．