题目内容

已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1左支上的一点，若
|PF2|2
|PF1|
=8a，则双曲线的离心率的取值范围是
 
．
分析：根据题意结合双曲线的定义可得|PF1|=2a，|PF2|=4a，进而得到|PF2|+|PF1|=6a≥|F1F2|=2c，即可得到双曲线的离心率的范围．
解答：解：由题意可得：
|PF2|2
|PF1|
=8a，并且|PF2|-|PF1|=2a，
所以|PF1|=2a，|PF2|=4a．
因为P是为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1左支上的一点，
所以|PF2|+|PF1|=6a≥|F1F2|=2c，即e=
c
a
≤3，
所以双曲线的离心率的取值范围是（1，3]．
故答案为（1，3]．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线的方程，以及双曲线的有关性质．
练习册系列答案
相关题目
已知F1、F2分别为椭圆
x2
25
+
y2
9
=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，Q是y轴上的一个动点，若|
PF1
|-|
PF2
|=4，则
PQ
•（
PF1
-
PF2
）=
 
已知F1，F2分别为椭圆
x2
3
+
y2
2
=1的左、右焦点，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为D，线段DF2的垂直平分线交l2于点M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设
F1P
=λ
F1Q
，若λ∈[2，3]，求
F2P
•
F2Q
的取值范围．
已知F1、F2分别为椭圆
x2
16
+
y2
9
=1的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则△PF1F2的面积为
9
7
4
9
7
4
．
已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的
2
3
，则椭圆的离心率为
5
3
5
3
．
已知F1，F2分别为双曲线x2-
y2
4
=1的左、右焦点，P是双曲线上的动点，过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹为（　　）

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