题目内容

已知数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=3， $数学公式$ ，b_n=a_n+1-a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{c_n}满足c_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），求 $数学公式$

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，又b₁=a₂-a₁=3-1=2．
所以数列{b_n}是首项b₁=2，公比q=2的等比数列．故b_n=b₁q^n-1=2ⁿ
（2）a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁= $\text{[math]}$ ．
（3）c_n=log₂（a_n+1）=log₂（2ⁿ-1+1）=log₂2ⁿ=n，（n∈N^*），
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）由题意可知数列{b_n}是首项b₁=2，公比q=2的等比数列．故b_n=b₁q^n-1=2ⁿ．
（2）由a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*）可知a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，由此能够求出数列{a_n}的通项公式．
（3）根据题意，可知 $\text{[math]}$ ，由此能够求出答案．
点评：本题考查数列的性质和应用，具有一定的难度，解题时要注意公式的合理选用．