Question

在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、，若点满足()，点的轨迹与抛物线：交于、两点．

(1)求证：⊥；

(2)在轴上是否存在一点，使得过点任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(2)4， 解：1)解：由()知点的轨迹是、两点所在的直线，故 点的轨迹方程是：即 由 ∴　　 ∴ ∴　故 ⊥. 2)解：存在点，使得过点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点． 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零 故 设弦所在的直线方程为： 代入 得 ∴　　　　 ∴ 故以为直径的圆都过原点 设弦的中点为　则　 ∴弦的中点的轨迹方程为： 　消去得　.