Question

12．正实数x，y，z满足xy+3yz=20，则2x²+5y²+2z²的最小值为40．

Answer 1

分析 将原式变形为（2x²+$\frac{1}{2}$y²）+（$\frac{9}{2}$y²+2z²），再由基本不等式，结合条件即可得到最小值．

解答 解：由x，y，z＞0可得，
2x²+5y²+2z²=（2x²+$\frac{1}{2}$y²）+（$\frac{9}{2}$y²+2z²）
≥2$\sqrt{2{x}^{2}•\frac{1}{2}{y}^{2}}$+2$\sqrt{\frac{9}{2}{y}^{2}•2{z}^{2}}$
=2xy+6yz=2（xy+3yz）=2×20=40．
当且仅当$\sqrt{2}$x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y，$\sqrt{2}$z=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$y取得最小值40．
故答案为：40．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意式子的变形，以及基本不等式满足的条件：一正二定三等．