Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

2

n•(an+2)

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由a₁=2和a₂，a₃，a₄+1成等比数列，得
（2+2d）²-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，
当d=-1时，a₃=0，与a₂，a₃，a₄+1成等比数列矛盾，舍去．
∴d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
即数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
（Ⅱ）由a_n=2n，得
b_n=

2

n•(an+2)

=

2

n(2n+2)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

．