Question

已知函数f（x）=x²-alnx在(1，2]是增函数，g（x）=x-a在（0，1）为减函数，
（1）求a的值；
（2）设函数φ（x）=2bx-是区间(0，1]上的增函数，且对于(0，1]内的任意两个变量s、t，f（s）≥φ（t）恒成立，求实数b的取值范围；
（3）设h（x）=f′（x）-g（x）-，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）。

Answer 1

解：（1），
依题意，
∴，
又∵，
依题意，；
∴a=2；
 （2），
当，
∴f（x）为减函数，其最小值为1，
令，则在（0，1）上，，
∵函数在为增函数，恒成立，
∵，
又在的最大值为2b-1，
依题意，为所求范围。
（3）

，
当n=1时，等式成立；
当n≥2时，



，
由均值不等式得，
∴。