Question

在数列
（1）求证：a_n＞2；
（2）求证：；
（3）若．

Answer 1

【答案】分析：（1）用数学归纳法证明，当n=1时，显然成立；假设n=k（k∈N^*）时，a_k＞2成立，再证n=k+1时成立，只需要证（a_k-2）²＞0，从而得证；
（2）由，可得，从而可证；
（3）先证明，再用反证法证明．
解答：证明：（1）①当n=1时，a₁=a＞2结论成立；    （1分）
②假设n=k（k∈N^*）时，a_k＞2成立

由a_k＞2知，（a_k-2）²＞0成立，所以a_k+1＞2．（4分）
由①、②知，对于n∈N^*，a_n＞2．（5分）
（2）由，
得，

（3）若，，（10分）
将上述n个式子相乘得．（11分）
下面反证法证明：
假设，
与已知矛盾．
所以假设不成立，原结论成立，
即当．（14分）
点评：本题主要考查利用数学归纳法证明不等式，考查分析法、反证法，综合性强，是一道难题．