Question

已知函数f（x）=alnx+x²，（a为常数）
（1）若a=-2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）若存在x∈[1，e]，使f（x）≤（a+2）x，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件知 ，当x＞1时，f'（x）＞0，即可证明结论；
（2）由f（x）≤（a+2）x知alnx+x²-（a+2）x≤0，设g（x）=alnx+x²-（a+2）x，据题意，当x∈[1，e]时，g（x）_min≤0，．再通过分类讨论可知a的取值范围是[-1，+∞）．
解答：解：（1）a=-2，f（x）=-2lnx+x²，∵当x＞1时，x²-1＞0，∴f'（x）＞0
故f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）令g（x）=f（x）-（a+2）x，
若存在x∈[1，e]使f（x）≤（a+2）x等价于：当x∈[1，e]时，g（x）_min≤0，x∈[1，e]
由g'（x）=0解得
（i）当时，g'（x）＞0，g（x）在[1，e]上单调增，g（x）_min=g（1）=1-（a+2）≤0，∴-1≤a≤2
（ii）当时，

x
f'（x）	-		+
f（x）	↘	极小值	↗

∴，∵∴
∴2＜a＜2e时，g（x）≤0恒成立．
（iii）当时，g'（x）＜0，g（x）在[1，e]上单调减g（x）_min=g（e）=a+e²-（a+2）e≤0，∴
又，∴a≥2e
综上可知，当a≥-1时，存在x∈[1，e]使f（x）≤（a+2）x．
点评：本题考查利用导数研究单调性用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．