Question

已知函数y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，则x₀称是函数y=f（x）的一个不动点，设f（x）=

-2x+3

2x-7

（Ⅰ）求函数y=f（x）的不动点；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的二个不动点a、b（假a＞b），求使

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

恒成立的常数k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用新定义，建立方程，解方程，即可求函数y=f（x）的不动点；
（Ⅱ）对等式的左边化简变形，即可确定恒成立时，常数k的值．

解答：解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的一个不动点为x₀，则

-2x0+3

2x0-7

=x0
∴2

x

2 0

-5x₀-3=0，∴x0=-

1

2

或x₀=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=3，b=-

1

2

，∴

f(x)-a

f(x)-b

=

-2x+3 2x-7 -3

-2x+3 2x-7 + 1 2

=8×

x-3

x+ 1 2

∴使

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

恒成立的常数k=8．

点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，解题的关键是对新定义的理解，属于中档题．