已知曲线C1的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标系方程是$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$.正方形ABCD的顶点都在C1上.且A.B.C.D依逆时针次序排列.点A的极坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

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8．已知曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标系方程是$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$，正方形ABCD的顶点都在C₁上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为$（2，\frac{π}{6}）$．
（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；
（Ⅱ）设P为C₂上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的最大值．

分析（I）曲线C₁的普通方程是x²+y²=4，极坐标方程是ρ=2．即可得出点A，B，C，D的极坐标．
（II）曲线C₂的极坐标系方程是$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$，两边平方可得：ρ²（4+5sin²θ）=36，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ可得直角坐标方程，可得参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数）．故可设P（3cosθ，2sinθ）其中θ为参数．利用两点之间的距离公式可得t=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²=32+20cos²θ，即可得出．

解答解：（I）曲线C₁的普通方程是x²+y²=4，极坐标方程是ρ=2．
∴点A，B，C，D的极坐标为$（2，\frac{π}{6}），（2，\frac{2π}{3}），（2，\frac{7π}{6}），（2，\frac{5π}{3}）$，
从而点A，B，C，D的直角坐标为$（\sqrt{3}，1），（-1，\sqrt{3}），（-\sqrt{3}，-1），（1，-\sqrt{3}）$．
（II）曲线C₂的极坐标系方程是$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$，两边平方可得：ρ²（4+5sin²θ）=36，可得直角坐标方程：4x²+9y²=36，即曲线C₂的直角坐标方程是$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，其参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数）．
故可设P（3cosθ，2sinθ）其中θ为参数．
∴t=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²=36cos²θ+16sin²θ+16=32+20cos²θ，
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的最大值为52．

点评本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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