已知曲线C1的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标系方程是$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$.正方形ABCD的顶点都在C1上.且A.B.C.D依逆时针次序排列.点A的极坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

8．已知曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标系方程是$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$，正方形ABCD的顶点都在C₁上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为$（2，\frac{π}{6}）$．
（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；
（Ⅱ）设P为C₂上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的最大值．

分析（I）曲线C₁的普通方程是x²+y²=4，极坐标方程是ρ=2．即可得出点A，B，C，D的极坐标．
（II）曲线C₂的极坐标系方程是$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$，两边平方可得：ρ²（4+5sin²θ）=36，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ可得直角坐标方程，可得参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数）．故可设P（3cosθ，2sinθ）其中θ为参数．利用两点之间的距离公式可得t=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²=32+20cos²θ，即可得出．

解答解：（I）曲线C₁的普通方程是x²+y²=4，极坐标方程是ρ=2．
∴点A，B，C，D的极坐标为$（2，\frac{π}{6}），（2，\frac{2π}{3}），（2，\frac{7π}{6}），（2，\frac{5π}{3}）$，
从而点A，B，C，D的直角坐标为$（\sqrt{3}，1），（-1，\sqrt{3}），（-\sqrt{3}，-1），（1，-\sqrt{3}）$．
（II）曲线C₂的极坐标系方程是$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$，两边平方可得：ρ²（4+5sin²θ）=36，可得直角坐标方程：4x²+9y²=36，即曲线C₂的直角坐标方程是$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，其参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数）．
故可设P（3cosθ，2sinθ）其中θ为参数．
∴t=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²=36cos²θ+16sin²θ+16=32+20cos²θ，
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的最大值为52．

点评本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、两点之间的距离公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

孟建平系列丛书浙江考题系列答案

导学与演练系列答案

巧学巧练系列答案

国华作业本名校学案系列答案

全通学案系列答案

轻松作业本系列答案

全解全习系列答案

阳光课堂金牌练习册系列答案

5年高考3年模拟系列答案

经纶学典单元期末冲刺卷系列答案

相关题目

16．已知函数f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[2，3]上的最小值．

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，平面SAB⊥底面ABCD，且SA=SB=$\sqrt{2}$，AD=1，AB=2，BC=3．
（Ⅰ）求证：平面SAD⊥平面SBC；
（Ⅱ）求平面SCD与底面ABCD所成二面角的余弦值．

16．设函数f（x）=xlnx，g（x）=-a+xlnb（a＞0，b＞0）．
（I）设函数h（x）=f（x）+g（x），求h（x）的单调区间；
（II）已知（a+b）e＜4b，若存在x₀∈[$\frac{a+b}{4}$，$\frac{3a+b}{5}$]，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，求$\frac{b}{a}$的取值范围．

3．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα+1}\end{array}\right.$（α为参数，t＞0），曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}s+1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}s-1}\end{array}\right.$（s为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₃：ρcosθ-ρsinθ=2，记曲线C₂与C₃的交点为P．
（Ⅰ）求点P的直角坐标；
（Ⅱ）当曲线C₁与C₃有且只有一个公共点时，C₁与C₂相交于A、B两点，求|PA|²+|PB|²的值．

13．已知函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象经过（0，1），（$\frac{π}{2}$，1）两点．
（1）利用公式sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）将f（x）表示为Asin（ωx+φ）+B的形式，并求a=2时f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）若不等式|f（x）|≤2，在[0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＞1时，若在[0，$\frac{π}{2}$]上存在x使不等式f（x+$\frac{π}{4}$）f（x-$\frac{π}{4}$）+a²-4a+2≥0成立，求实数a的取值范围．

如图，在AB为直径的半圆O上取一点C，连接AC并延长与过B点的切线相交于点D，以C为切点作切线交AB的延长线于G，交BD于F．
（1）求证：DF=BF；
（2）若AC=CG，求$\frac{AG}{CG}$的值．

如图，已知直线PA与半圆O切于点A，PO交半圆于B，C两点，AD⊥PO于点D．
（Ⅰ）求证：∠PAB=∠BAD；
（Ⅱ）求证：PB•CD=PC•BD．

18．函数f（x）的定义域为R，f（-2）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+6的解集为（　　）

（-∞，-2）

（-2，+∞）

（-∞，+∞）