Question

20.设函数f（x）=－ax，其中a>0.

（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；

（Ⅱ）证明：当a ≥1时，函数f（x）在区间［0，+∞）上是单调函数.

Answer 1

20.本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.

（Ⅰ）解：不等式f（x）≤1，即≤1+ax，

由此得1≤1＋ax，即ax≥0.

其中常数a>0，

所以，原不等式等价于

即　　　　　　　  　　　　　　

所以，当0＜a<1时，所给不等式的解集为｛x|0≤x≤｝；

当a≥1时，所给不等式的解集为｛x|x≥0｝.　　　　

 

（Ⅱ）证明：在区间[0，+∞）上任取x₁，x₂，使得x₁<x₂.

f（x₁）－f（x₂）=

              　=

                =.　 　

∵<1，且a≥1，

∴<0，

又x₁－x₂<0，

∴f（x₁）－f（x₂）>0，

即f（x₁）>f（x₂）.

所以，当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+ ∞）上是单调递减函数.