Question

已知椭圆E的焦点坐标为F₁（-2，0），点M（-2，

2

）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设Q（1，0），过Q点引直线l与椭圆E交于A，B两点，求线段AB中点P的轨迹方程；
（3）O为坐标原点，⊙O的任意一条切线与椭圆E有两个交点C，D且

OC

⊥

OD

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）经过M（-2，

2

），一个焦点坐标为F₁（-2，0），可求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l与椭圆E的两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），相交所得弦的中点P（x，y），由此能导出弦AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

4

8

x1+x2

y1+y2

=-

x

2y

，(y≠0)．再由A，B，P，Q四点共线，知k_AB=k_PQ，由此能导出线段AB中点P的轨迹方程．
（Ⅲ）当⊙O的切线斜率存在时，设⊙O的切线方程为y=kx+m，由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，再由根与系数的关系能求出⊙O的半径．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）经过M（-2，

2

），一个焦点坐标为F₁（-2，0），
∴

a2=8 b2=4

，椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；（5分）
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l与椭圆E的两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），相交所得弦的中点P（x，y），∴

x12 8 + y12 4 =1① x22 8 + y22 4 =1②

，
①-②得，

(x1+x2)(x1-x2)

8

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0，
∴弦AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

4

8

x1+x2

y1+y2

=-

x

2y

，(y≠0)．，
∵A，B，P，Q四点共线，∴k_AB=k_PQ，即-

x

2y

=

y

x-1

，(y≠0且x≠1)，
经检验（0，0），（1，0）符合条件，
∴线段AB中点P的轨迹方程是x²+2y²-x=0．（10分）
（Ⅲ）当⊙O的切线斜率存在时，设⊙O的切线方程为y=kx+m，
由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则

x3+x4=- 4km 1+2k2 x3x4= 2m2-8 1+2k2

∵

OC

⊥

OD

，∴x₃x₄+y₃y₄=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
∴3m²-8k²-8=0，即k2=

3m2-8

8

，
∵直线y=kx+m为⊙O的一条切线，∴圆的半径r=

|m|

1+k2

，
即r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，
经检验，当⊙O的切线斜率不存在时也成立．∴r=

2 6

3

．（14分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．