Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，是的中点．

（I）求证：平面平面；

（II）若异面直线与所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）见证明;（II）.

【解析】

（I）做辅助线如图所示，根据图形的性质得到线面垂直平面，再由平行四边形的性质得到线线平行，进而得到面面垂直；（II）建立空间坐标系根据线线角得出是正三角形，分别求出两个面的法向量进而得到面面角.

（I）证明：分别取，的中点，，连接，，，

则，，有，即四边形是平行四边形.

，

，

，

又平面平面，平面，

而，平面，

又平面，

平面平面.

（II）连接，由知是异面直线与所成角，

，易知是正三角形

不妨设，则，取为原点，直线，，分别为，，轴，建立坐标系，显然平面的一个法向量为.

由，，得，，.

设是平面的法向量.

则 ，取.

. .

故平面与平面夹角的余弦值为.