Question

【题目】如图，正四棱锥中底面边长为，侧棱与底面所成角的正切值为．

（1）求正四棱锥的外接球半径；

（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）求外切球的半径首先确定圆心的位置，进而得到求得半径；（2）容易证明EO∥PD且EO=PD可得∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角，在Rt△AOE中求

试题解析：（1）连结AC，BD交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，

∴ ∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴ tan∠PAO=．

又AB=，则PO=AOtan∠PAO =．

设F为外接球球心，连FA，

易知FA=FP,设FO=x，则

（2）连结EO，由于O为BD中点，E为PD中点，所以 ．

∴ 就是异面直线PD与AE所成的角．

在Rt中，．∴．

由，可知面．所以，

在Rt中，，

即异面直线PD与AE所成角的正切值为．