Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E是DC的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB．
（Ⅰ）若F是BP的中点，求证：CF∥面APE；
（Ⅱ）求证：面APE⊥面ABCE；
（Ⅲ）求三棱锥C-PBE的体积．

Answer 1

分析：（I）取AB中点G，连接GF，GC，证明平面APE∥平面FGC，可得CF∥面APE；
（Ⅱ）取AE中点O，连接PO，取BC的中点H，连OH，PH，证明PO⊥面ABCE，即可证明面APE⊥面ABCE；
（Ⅲ）利用等体积转化，即可求三棱锥C-PBE的体积．

解答：（Ⅰ）证明：取AB中点G，连接GF，GC，
∵EC∥AG，EC=AG，∴四边形AECG为平行四边形，
∴AE∥GC，
在△ABP中，GF∥AP，
又GF∩GC=G，AE∩AP=A，
∴平面APE∥平面FGC
∵FC?平面FGC，
∴CF∥面APE．…（4分）
（Ⅱ）证明：取AE中点O，连接PO，则PA=PE，OA=OE，∴PO⊥AE，
取BC的中点H，连OH，PH，
∴OH∥AB，∴OH⊥BC，
∵PB=PC，∴BC⊥PH，
∴BC⊥面POH，
∴BC⊥PO，
又BC与AE相交，可得PO⊥面ABCE，
所以，面APE⊥面ABCE．…（9分）
（Ⅲ）解：VC-PBE=VP-CBE=

1

3

S△BCE•PO=

1

3

×(

1

2

×2×2)×

2

=

2 2

3

．…（13分）

点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．