题目内容

有两个函数f（x）=asin（kx+
π
3
），g（x）=btan（kx-
π
3
），k＞0，它们的周期之和为
3π
2
，且f（
π
2
）=g（
π
2
），f（
π
4
）=-
3
g（
π
4
）+1
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求f（x）的单调区间．
分析：（1）由题意及函数解析式和函数周期之和，求出k的值，再利用已知等式条件建立a，b的方程，解出结果，求出函数的解析式
（2）根据正弦函数的单调区间，写出角对应的范围，求解即可找出其函数单调区间．
解答：解：（1）由条件得
2π
k
+
π
k
=
3
2
π，∴k=2．
由f（
π
2
）=g（
π
2
），得a=2b①
由f（
π
4
）=-
3
g（
π
4
）+1，得a=2-2b②
∴由①②解得a=1，b=
1
2
．
∴f（x）=sin（2x+
π
3
），g（x）=
1
2
tan（2x-
π
3
）．
（2）当-
π
2
+2kπ＜2x+
π
3
＜
π
2
+2kπ，k∈Z时，f（x）单调递增．
单调增区间为〔kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
〕（k∈Z）；单调减区间为〔kπ+
π
12
，kπ+
7π
12
〕（k∈Z）
点评：本题考查了三角函数的周期求法，及利用方程解未知量的方程思想，还考查了三角函数单调性，本题解题的关键是构造关于变量a，b的方程，本题是一个中档题目．
练习册系列答案
相关题目
有两个函数f（x）=asin（kx+
π
3
），g（x）=btan（kx-
π
3
）（k＞0），它们的周期之和为
3
2
π且f（
π
2
）=g（
π
2
），f(
π
4
)=-
3
g(
π
4
)+1求这两个函数，并求g（x）的单调递增区间．
对于在[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[a，b]上是非接近的．现在有两个函数f（x）=logt（x-3t）与g（x）=logt（
1
x-t
）（t＞0且t≠1），现给定区间[t+2，t+3]．
（1）若t=
1
2
，判断f（x）与g（x）是否在给定区间上接近；
（2）若f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上都有意义，求t的取值范围；
（3）讨论f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是否是接近的．
对于定义在区间[m，n]上的两个函数f（x）和g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有不等式|f（x）-g（x）|≤1成立，则称函数f（x）与g（x）在[m，n]上是“友好”的，否则称“不友好”的．现在有两个函数f（x）=loga（x-3a）与g(x)=loga
1x-a
（a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．
（1）若f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是否“友好”．
对于在[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[a，b]上是非接近的．现在有两个函数f（x）=logt（x-3t）与g（x）=logt（
1
x-t
）（t＞0且t≠1），现给定区间[t+2，t+3]．
（1）若t=
1
2
，判断f（x）与g（x）是否在给定区间上接近；
（2）若f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上都有意义，求t的取值范围；
（3）讨论f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是否是接近的．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网